

در کلاس گفته شد که باید بر اساس ان جریان سلف و یا ولتاژ دوسر خازن در انتها نوشته شود این مقادیر تا در نهایت به معادله دیفرانسیل دو بعدی رسیده باشیم

این ها شروط اولیه میباشند
همه را میتوان بر حسب جریان سلف نوشت
یعنی معادله دیفرانسیل بر این اساس نوشته میشود

یعنی جریان خازن بر حسب جریان سلف یک معادله درجه ی دوم خواهد داد

این مهادله مهم است
یعنی ما جریان های هر کدام را بر حسب جریان سلف توانستیم که بنویسیم
جال میتوان جوران سلف را بدست اورد
با حل این معادله دیفرانسیل
ان هم فقط چون که رابطه یی بین جریان و ولتاژ را در سلف و همین طور در خازن داریم
بنابر این میتتوان محاسبه کرد
در بخش های قبلی دیدیم که در خازن ها با جریانی که دارد وارد میشود میتوان مقدار ولتاژ را تنظیم کرد
پس یعنی میتوان فهمید که ولتاژ ان برابر با انتگرال جریان های ان خواهد شد


یعنی جریان ان مشتقی از ولتاژ میشود یعنی به نوعی مشتق ولتاژ ان خواهد بود
n second-order circuits, a zero-input response (also known as the natural response) is the behavior of the circuit when there are no external sources applied (i.e., input is zero) and the response is purely due to the initial energy stored in the reactive elements (inductors and capacitors).
Second-order circuits typically involve two reactive components, such as an inductor (L) and a capacitor (C), which can form an LC circuit or be part of an RLC circuit. The natural response of these circuits is characterized by the solution of the homogeneous differential equation obtained from Kirchhoff’s laws.
Here’s a general form of the second-order differential equation for a second-order RLC circuit:
𝑑2𝑦(𝑡)𝑑𝑡2+2𝛼𝑑𝑦(𝑡)𝑑𝑡+𝜔02𝑦(𝑡)=0dt2d2y(t)+2αdtdy(t)+ω02y(t)=0
where:
- 𝑦(𝑡)y(t) is the output (which could be the voltage across the capacitor or the current through the inductor, depending on the circuit configuration).
- 𝛼α is the damping coefficient, which is related to the resistance, inductance, and capacitance in the circuit.
- 𝜔0ω0 is the undamped natural frequency of the circuit.
Solutions Based on Damping
The characteristic equation of the differential equation is:
𝑠2+2𝛼𝑠+𝜔02=0s2+2αs+ω02=0
The roots of this equation (𝑠1s1 and 𝑠2s2) determine the nature of the circuit response:
- Overdamped Response (𝛼>𝜔0α>ω0):
- The roots 𝑠1s1 and 𝑠2s2 are real and distinct.
- The general solution is: 𝑦(𝑡)=𝐴𝑒𝑠1𝑡+𝐵𝑒𝑠2𝑡y(t)=Aes1t+Bes2t
- This results in an exponentially decaying response without oscillations.
- Critically Damped Response (𝛼=𝜔0α=ω0):
- The roots 𝑠1s1 and 𝑠2s2 are real and equal.
- The general solution is: 𝑦(𝑡)=(𝐴+𝐵𝑡)𝑒𝑠1𝑡y(t)=(A+Bt)es1t
- This results in a response that decays to zero as quickly as possible without oscillating.
- Underdamped Response (𝛼<𝜔0α<ω0):
- The roots 𝑠1s1 and 𝑠2s2 are complex conjugates.
- The general solution is: 𝑦(𝑡)=𝑒−𝛼𝑡(𝐴cos(𝜔𝑑𝑡)+𝐵sin(𝜔𝑑𝑡))y(t)=e−αt(Acos(ωdt)+Bsin(ωdt))
- Here, 𝜔𝑑=𝜔02−𝛼2ωd=ω02−α2 is the damped natural frequency.
- This results in an oscillatory response with an exponentially decaying envelope.
Example of a Second-Order RLC Circuit
Consider a series RLC circuit with the following parameters:
- Resistance 𝑅R
- Inductance 𝐿L
- Capacitance 𝐶C
The differential equation describing the voltage across the capacitor 𝑉𝐶(𝑡)VC(t) is:
𝐿𝑑2𝑉𝐶(𝑡)𝑑𝑡2+𝑅𝑑𝑉𝐶(𝑡)𝑑𝑡+1𝐶𝑉𝐶(𝑡)=0Ldt2d2VC(t)+RdtdVC(t)+C1VC(t)=0
Comparing this with the standard form, we identify:
- 𝛼=𝑅2𝐿α=2LR
- 𝜔0=1𝐿𝐶ω0=LC1
The natural response of this circuit will depend on the relationship between 𝛼α and 𝜔0ω0, leading to one of the three types of damping responses mentioned above.
Understanding the zero-input response helps in analyzing how energy stored in the inductors and capacitors is dissipated over time and how the circuit will behave in the absence of external sources
این گونه هم میتوان دید
یعنی ما این چهار حالت را داریم :



جواب اویله از مدار


این دو را باید در جواب اولیه بگذاریم

پس در کل در مدار هایمرتبه این شکلی باید این گونه محاسبه شود :







در اینجا هم در حال کم شدن میباشد
در این جا فقط داریم که مقدار



if we have zero responce :
پس دقیقا مانند شکل قبلی باید باشد با این تفاوت که باید دارای حالت ورودی باشد که دارای جواب های دیگری نیز خواهد شد

دارای فرم غیر همگن میباشد
در اینجا با لاپلاس هم میتوان این مدار هارا حل کرد
دقیقا مانن قبل که داشتیم :


این گونه میتوان نسبت ان هارا به هم با یک تبدیل لاپلاس نشان داد

مرحله ی پایانی باید این گونه باشد :

: for step responce
با تبدیل لاپلاس این گونه شد

دقیقا دارد که مقادیر را در خودش ذخیره سازی میکند و انگار ان جریان همان مشتق میباشد


ولیتاژ بر حسب جریان ان این گونه تغییر میکند

: we have this tow responces








یعنی از اینجا باید نتیجه گرفت که اگر که اگر این دو جریان ها باهم برابر نباشند رد این صورت باید دلتا پریم ظاهر شده باشد که داریم در اینجا
در اینجا :



یعنی این مقادی ان ها باید تفاوت داشته باشد مقادیر مشتق های ان ها



در اینجا داریم


در اینجا فقط برحسب ولتاژ خازن نوشته شده

این را میدانیم :




پس این دو معادل با هم خواهند بود :



خازن را مصرف کنند ه در نظر گرفته ایم

که به قطب مثبت ان وارد میشود



